《全俄留学生大讲坛》系列讲座，是在中俄建交75周年的背景下开展，由莫斯科大学中国学生学者联谊会主办，中国留俄学生总会、全俄中国博士生学者联谊会支持的学术系列活动。旨在加强中俄两国之间的学术交流，团结留学生团体，搭建知识对话的桥梁。通过邀请不同研究领域中俄高校及科研机构顶尖专家学者进行学术讲座的方式，为留俄学子学习前沿知识、接触大师成果提供机会，分享学术观点，以促进国际间学术共享。

2024年5月5日，由莫大中国学联学习部主办，中国留俄学生总会、全俄中国博士生学者联谊会支持的《全俄留学生大讲坛》第一期讲座顺利举办。

本期大讲坛邀请了华东师范大学数学系博士生导师倪明康教授，以线上形式开展以《奇异摄动问题中的空间对照结构理论和方法》为主题的讲座。讲座吸引了来自莫斯科大学、莫斯科国立鲍曼技术大学、俄罗斯南乌拉尔国立大学、深圳北理莫斯科大学、华东师范大学、东华大学等国内外高校的近百名同学与会聆听。本场讲座由莫大学联学习部长，计算数学与控制系硕士研究生王淄齐主持。

活动讲座

1. 数学工具在天体物理中的应用

2. 中国数学家在微分方程领域的贡献

3. 理论发展历程

4. 空间对照结构与数学方程的研究

主讲人介绍

倪明康教授，华东师范大学数学系教授、博士生导师，俄罗斯自然科学院外籍院士，深圳北理莫斯科大学特聘教授。现任中国数学会奇异摄动专业委员会副理事长, 上海市数量经济学会常务理事，上海市系统工程学会理事。1996年获俄罗斯科学院数理学博士，师从Tikhonov学派， 1998年选聘为俄罗斯国家教育部终身副教授，2004年8月被俄罗斯友谊大学聘为客座教授，2005年当选为俄罗斯自然科学院外籍院士，2015年获得第七届秦元勋数学奖。

主要从事奇异摄动微分动力系统、最优控制理论的研究，已发表论文100余篇，曾被俄罗斯主流媒体报道了12次，接受电视台采访2次，受到了市政府表彰。现已出版两本个人专著：《奇异摄动问题中的渐近理论》和《奇异摄动问题中的空间对照结构理论》。

讲座概述

奇异摄动理论和方法已经渗透到自然科学研究的各个领域，它是求解非线性问题的重要近似方法之一，而空间对照结构理论一直是该领域的热点问题之一。它是由前苏联著名数学家Vasileva A. 和Butozov B. 在上世纪90年代初提出来的。

它的一个重要特点是解在非常短的时间内结构会发生急剧变化，具有阶梯状和脉冲状两种基本形式，已成为近代奇异摄动理论中复杂动力学行为的重要源头。近几十年来，在控制工程方面奇异摄动法的应用研究是一个很活跃的学术领域。该法在基础和应用研究中已被广泛应用于微分方程、轨道力学、非线性振动、固体力学、流体力学、大气动力学、动力海洋学、声学、光学、等离子体物理学、量子力学等领域。本报告对空间对照理论和研究方法做简单的介绍，以供大家参考。

数学工具在天体物理中的应用

倪教授介绍了空间对照结构理论的发展与应用及其历史背景，引入亚当斯和勒维耶共同发现海王星并预测其位置并进一步发现了周围其他天体的故事，以此来讲述数学工具在预测天体运动中的应用。通过对行星运动微分方程中添加扰动项，进而构造含有小参数的幂级数形式的渐近近似解，由此得出的计算值与观察值拟合。从中不难看出解决实际问题的数学建模思想。

中国数学家在微分方程领域的贡献

倪教授讲述了徐钧涛教授在华东师范大学的研究，他对中国非线性问题、高阶数和物理问题深入研究。奇异摄动研究在中国的沿革，最早也是在工程领域，比如航天，控制，流体力学等，包括钱伟长，1954年发表《弹性圆薄板大挠度问题》，以及郭永怀，钱学森，林家翘等老一辈科学家做出了杰出贡献。

同时，倪教授强调了学习的重要性，认为没有学不会的东西，关键在于刻苦和努力。在参观钱伟长先生故居时，有一段话印象深刻，也特地与同学们分享，钱老说：“我不是天才，我的学习是非常勤奋的，我发现很多东西我还不懂，需要，我就学。你们不要相信天才论，关键在于刻苦和努力，没有学不会的东西，问题在于你肯不肯学，敢不敢学。”

奇异摄动理论发展历程

倪教授也曾在莫斯科大学物理系数学教研室学习，这里也被他称为奇异摄动理论研究的“大本营”和“根据地”。教授详细地为与会同学讲解了奇异摄动理论发展历程。

奇异摄动法的主导思想是利用小参数进行展开，因此在中国也叫小参数方法，而这一整套理论的证明与完善起源于吉洪诺夫学派。1983年全国首届奇异摄动理论及应用学术会议在华东师范大学召开。1948年和1950年吉洪诺夫教授发表了两篇论文研究小参数在高阶导数前的n阶微分方程和具有所谓快慢系统的方程组，这也被认为奇摄动理论的奠基性工作。

而后他的学生瓦西里耶娃教授进一步发展和推广了该理论，提出了瓦西里耶娃方法（也被称为边界层函数法），在1976年发表文章综述总结了10年来带小参数的常微分方程的发展。1990年瓦西里耶娃教授也受邀在华东师范大学开展了为期一个多月的讨论班。于1997年出现了空间对照结构的渐近理论。2010年，瓦西里耶娃、布图佐夫、涅费多夫三人总结回顾了带有边界层和内部层的奇异摄动问题。

对照结构与数学方程的研究解析

主要讨论了空间对照结构、小参数方程和边界层等概念。首先，空间对照结构是一种更复杂的数学模型，涉及到更复杂的问题。其次，小参数方程分为两类，一类含有小参数，另一类没有。当小参数为零时，可以简化模型进行研究。然而，在某些情况下，这两个方程的解可能不趋向于零，此时需要认真研究如何找到近似解。

此外，还讨论了边界层函数在数学问题中的应用、边界层效应和高精度近似解等问题。其中边界层是指在数学方程中，正解和退化解相差很大的区间，这个区间在数学分析中具有重要意义。最后倪教授讲述了空间对照结构理论和方法在非线性学科中的应用，例如在物理、大气、化学、生态学等领域。

奇异摄动相关概念与理论拓展讲解

1、奇摄动问题的特性

2、何为边界层

边界层作为术语来自于流体力学，在奇摄动问题中指使得真解和退化解差别很大的区间。边界层函数方法的优势：比起数值解，可以得到解析解，据此也可以帮助数值方法选择更合适的步长，以得到更高的精度。

3、渐近近似解

吉洪诺夫系统可以按快慢系统分离，构造多尺度解。

重要定理

中国留俄学生总会主席强翀向倪明康教授表示热烈欢迎和衷心感谢，并向与会同学介绍了总会学术系列活动的开展计划。她表示《全俄留学生大讲坛》系列讲座旨在为留俄学子搭建学术交流平台，为留俄学子提供与中俄各专业领域教授们亲身互动的学习机会，从而激发更多的思考和探索学术的热情。

此次讲座在倪教授和同学们的互动交流下接近尾声，同学们积极地向教授提出学术领域的相关问题，如“奇异摄动法的应用”、“该领域的前沿问题”等。倪教授对相关问题一一进行充分解答。

倪教授的精彩讲解不仅让与会同学了解认识奇异摄动的相关知识，还更加清晰地理解了中俄相关科研领域的合作现状及未来合作的方向。同学们纷纷表示，对留苏前辈的学术成就和研究精神感到由衷的敬佩，希望能够追随前辈的脚步，在科研的道路上不断前行。